turunan fungsi aljabar

 Turunan Fungsi Aljabar

 A.turunan fungsi aljabar dan rumusnya

Sifat-sifat Turunan Fungsi Aljabar
Sebelum membahas tentang soal dan rumus-rumusnya, ada baiknya bagi kamu untuk mempelajari sifat-sifat turunan fungsi aljabar terlebih dahulu. Berdasarkan e-Modul Matematika yang diterbitkan Kemendikbud untuk Sekolah Menengah Atas tahun 2018, sifat-sifat turunan fungsi aljabar di antaranya:

1. Turunan fungsi konstan: f(x) = k ⇒ f'(x) = 0


2. Turunan fungsi identitas: f(x) = x ⇒ f'(x) = 1

3. Turunan fungsi aljabar berpangkat n


turunan fungsi aljabar. Foto: Stefani Ditamei/detikcom
4. Rumus turunan jumlah dan selisih fungsi-fungsi


turunan fungsi aljabar. Foto: Stefani Ditamei/detikcom
5. Turunan Fungsi Aljabar Hasil Kali


turunan fungsi aljabar. Foto: Stefani Ditamei/detikcom
6. Rumus turunan fungsi aljabar hasil kali di atas dapat diperluas untuk mencari rumus turunan yang terdiri dari tiga fungsi, di antaranya:


turunan fungsi aljabar. Foto: Stefani Ditamei/detikcom
7. Turunan fungsi aljabar hasil bagi dengan v(x) ≠ 0


turunan fungsi aljabar. Foto: Stefani Ditamei/detikcom
8. Sifat-sifat turunan fungsi aljabar:


turunan fungsi aljabar. Foto: Stefani Ditamei/detikcom
Turunan fungsi trigonometri

turunan fungsi aljabar. Foto: Stefani Ditamei/detikcom
Sumber gambar: e-Modul Matematika kelas XI/Kemendikbud, 2018 (Hal.18)

Rumus Turunan Fungsi Aljabar
Setelah mempelajari sifat-sifat turunan fungsi aljabar, berikut ini adalah rumus turunan fungsi aljabar yang dilansir dari buku Super Matematika SMA IPA oleh Drs. Joko Untoro:


turunan fungsi aljabar. Foto: Stefani Ditamei/detikcom
Sumber gambar: Super Matematika SMA IPA oleh Drs. Joko Untoro, (hal. 244)

Aplikasi Turunan Fungsi Aljabar
Berdasarkan isi Lembar Kerja Peserta Didik Matematika bab Aplikasi Turunan Fungsi Aljabar, aplikasi turunan fungsi aljabar terdiri dari persamaan garis singgung, fungsi naik dan fungsi turun, nilai-nilai stasioner yang meliputi pengertian nilai stasioner dan titik stasioner serta jenis-jenis nilainya, dan nilai maksimum dan nilai minimum. Supaya lebih mudah dimengerti, simak penjelasannya di bawah ini:

Persamaan Garis Singgung
Materi gradien (yang membahas tentang koefisien arah atau kemiringan dari suatu garis), jika digambarkan suatu ruas garis AB dengan A(x1, y1) dan B (x2,y2), maka dapat didefinisikan dengan:


turunan fungsi aljabar. Foto: Stefani Ditamei/detikcom
Sumber gambar: LKPD Matematika bab Aplikasi Turunan Fungsi Aljabar, (hal. 5)

Fungsi Naik dan Fungsi Turun
Istilah naik dan turun sudah sering kita temui contohnya dalam kehidupan sehari-hari. Misalnya, berita tentang harga bahan pokok yang sedang, atau seseorang yang baru saja turun dari mobil. Saat membahas materi fungsi, ada juga fungsi naik dan fungsi turun.

Suatu fungsi disebut naik jika ditelusuri dari arah kiri ke kanan nilai fungsi selalu membesar (adanya pertambahan nilai dari kecil ke besar). Namun, suatu fungsi dikatakan turun jika ditelusuri dari arah kiri ke kanan nilai fungsi selalu mengecil. (adanya pengurangan nilai dari besar ke kecil)

Nilai-nilai Stasioner

turunan fungsi aljabar. Foto: Stefani Ditamei/detikcom
Sumber gambar: LKPD Matematika bab Aplikasi Turunan Fungsi Aljabar, (hal. 14)

Perhatikan gambar titik stasioner pada kurva di atas. Apabila y=f(x) dengan x=a dan f'(a) = 0, maka f(a) adalah nilai stasioner atau nilai kritis dari suatu fungsi f(x) di x=a. Sedangkan (a, f(a)) adalah titik stasioner atau titik kritis.

Nilai Maksimum dan Nilai Minimum
Nilai maksimum dari fungsi f(x) yang ada di interval tertutup adalah nilai yang terbanyak dalam interval tersebut dan nilai minimumnya merupakan nilai yang paling sedikit dalam interval tertutup tersebut. Nilai maksimum maupun nilai minimum suatu fungsi f(x) dalam interval tertutup hasilnya tidak selalu sama dengan nilai balik maksimum atau nilai balik minimum fungsi f(x) dalam interval tertutup tersebut. Selain itu, nilai maksimum atau nilai minimum fungsi f(x) dalam interval tertutup dapat diperoleh dua kemungkinan, yakni:

Nilai balik maksimum atau nilai balik minimum suatu fungsi f(x)
Nilai-nilai fungsi pada ujung interval tertutup itu
Contoh Soal Turunan Fungsi Aljabar
Berikut ini adalah contoh soal turunan fungsi aljabar beserta cara menyelesaikannya.

Soal: Tentukan turunan pertama dari f(x) = (2-6x) pangkat 3
Pembahasan:

Misalnya u = 2 - 6x

Maka u' = - 6

f(x) = (u(x)) pangkat 3

Sehingga turunan pertama dari f(x) = (2-6x) pangkat tiga adalah -18(2-6x) pangkat 2

Soal: Tentukan turunan dari f(x)= 3x-1/1+2x
Pembahasan:

f(x) = 3x-1/1+2x

Misal u(x) = 3x - 1

v(x) = 1+2x

Maka u'(x) = 3

v'(x) = 2

B.persamaan garis singgung kurva

ersamaan garis singgung kurva y = f(x) dititik T(x1, y1) dirumuskan sebagai
y – y1 = m(x – x1)
dimana m = f’(x1).

Untuk lebih jelasnya ikutilah contoh soal berikut ini:

01. Tentukan gradien garis singgung kurva f(x) = 5x2 – 8x + 4 di titikT(2, 8)
Jawab
Titik singgung di T(2, 8), maka x1 = 2
Maka
m = f’(x1)
m = 10x1 – 8
m = 10(2) – 8
m = 12

02. Tentukan persamaan garis singgung kurva f(x) = x3 – 6x2 + 4x + 11 di titikT(3, –4)
Jawab
Titik singgung di T(3, –4), maka x1 = 3 dan y1 = –4, sehingga
m = f’(x1)
m = 3x2 –  12x + 4
m = 3(3)2 –  12(3) + 4
m = 27 – 36 + 4
m = –5
Jadi

y – (–4) = –5(x – 3)
y + 4 = –5x + 15
y = –5x + 15 – 4
y = –5x + 11

03. Tentukanlah persamaan garis singgung kurva f(x) = 2x3 – 4x2 di titik berabsis 2
Jawab
Diketahui x1 = 2 maka y1 = 2(2)3 – 4(2)2 = 16 – 16 = 0 sehingga
m = f’(x1)
m = 3x2 – 8x
m = 3(2)2 – 8(2)
m = 24 – 16
m = 8
Jadi
y – 0 = 8(x – 2)
y = 8x – 16

04. Tentukanlah persamaan garis singgung kurva y = x2 – 5x + 6 jika gradien garis singgungnya adalah 3
Jawab
Diketahui f(x) = x2 – 5x + 6.
Jika m = 3 maka m = f ‘(x1) = 2x1 – 5
3 = 2x1 – 5
8 = 2x1 Jadi x1 = 4
y1 = (4)2 – 5(4) + 6 = 16 – 20 + 6 = 2

Sehingga y – y1 = m(x – x1)
y – 2 = 3(x – 4)
y – 2 = 3x – 12
y = 3x – 12 + 2
y = 3x – 10

05. Tentukanlah persamaan garis singgung kurva y = x3 – 3x2 – 5x + 10 jika gradien garis singgungnya adalah 4
Jawab
Diketahui f(x) = x3 – 3x2 – 5x + 10.
Jika m = 4 maka m = f ‘(x) = 3x2 – 6x – 5
4 = 3x2 – 6x – 5
0 = 3x2 – 6x – 9
0 = x2 – 2x – 3
0 = (x – 3)( x + 2) Jadi x1 = 3 atau x2 = –2
y1 = (3)3 – 3(3)2 – 5(3) + 10 = 27 – 27 – 15 + 10 = –5
y2 = (–2)3 – 3(–2)2 – 5(–2) + 10 = –8 – 12 + 10 + 10 = 0
Sehingga terdapat dua garis singgung, yakni :
PGS pertama
y – y1 = m(x – x1)
y – (–5) = 4(x – 3)
y = 4x – 17

PGS Kedua
y – y2 = m(x – x2)
y – 0 = 4(x – (–2))
y = 4x + 8

06. Tentukan persamaan garis singgung kurva y = x2 – 6x + 2 dititik yang berordinat –3
Jawab
Diketahui y = –3, maka –3 = x2 – 6x + 2
0 = x2 – 6x + 5
0 = (x – 5)(x – 1)
x1 = 5 atau x2 = 1

Graddiennya : f ‘(x) = 2x – 6
m1 = 2(5) – 6 = 4
m2 = 2(1) – 6 = –4
Sehingga terdapat dua garis singgung, yakni :
PGS pertama
y – y1 = m(x – x1)
y – (–3) = 4(x – 5)
y + 3 = 4x – 20
y = 4x – 23

PGS kedua
y – y2 = m(x – x2)
y – (–3) = –4(x – 1)
 y + 3 = –4x + 4
y = –4x + 1

C.penggunaan turunan dan turunan kedua

Jika suatu benda bergerak memenuhi fungsi jarak s yang ditempuh selama waktu t. Maka turunan pertama s merupakan kecepatan benda tersebut. Jika dengan turunan pertama kita memperoleh kecepatan suatu benda, maka dengan turunan keduanya kita akan mendapatkan percepatanya

Sebelumnya kita telah mengenal turunan dalam hal ini adalah turunan pertama, turunan kedua merupakan kelanjutan dari turunan pertama. Apabila f′(x)$f^{\prime }(x)$ adalah pertama dari f(x)$f(x)$, maka f′′(x)$f^{″}(x)$ adalah turunan kedua yang diperoleh dari penurunan kembali turunan pertama f′(x)$f^{\prime }(x)$. Selain percepatan, turunan kedua dalam penggunaanya dapat digunakan untuk menentukan jenis nilai stasionernya.

Notasi untuk turunan kedua dapat dituliskan menjadi f′′(x)$f^{″}(x)$ atau y′′$y^{″}$ atau d2fdx2$\frac{d^{2}f}{d{x}^2}$ atau  d2ydx2$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}$. Penulisan d2fdx2$\frac{d^{2}f}{d{x}^2}$ merupakan penulisan singkat dari bentuk ddx(dfdx)$\frac{d}{dx}\left(\frac{df}{dx}\right)$, begitu pula untuk d2ydx2$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}$ adalah penulisan singkat dari dydx(dydx)$\frac{dy}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)$. Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh soal yang disertai pembahasannya berikut ini

Contoh 1
Carilah turunan kedua fungsi f(x)=x3+3x2−2x−8$f(x)=x^3+3x^2-2x-8$!
Penyelesaian
f(x)=x3+3x2−2x−8$f(x)=x^3+3x^2-2x-8$
f′(x)=3x2+6x−2$f^{\prime }(x)=3x^2+6x-2$
f′′(x)=6x+6$f^{″}(x)=6x+6$

Contoh 2
Carilah nilai f′′(2)$f^{″}(2)$ dari fungsi f(x)=5x3+10x$f(x)=5x^3+10x$!
Penyelesaian
f(x)=5x3+10x$f(x)=5x^3+10x$
f′(x)=15x2+10$f^{\prime }(x)=15x^2+10$
f′′(x)=30x$f^{″}(x)=30x$
f′′(2)=30(2)=60$f^{″}(2)=30(2)=60$

Contoh 3
Turunan kedua dari fungsi f(x)=sin2x$f(x)=si{n}^{2}x$ adalah ...
Penyelesaian
f(x)=sin2x$f(x)=si{n}^{2}x$
f′(x)=2sinxcosx$f^{\prime }(x)=2sinxcosx$
f′′(x)=2(cosxxcosx−sinxsinx)$f^{″}(x)=2(cosxxcosx-sinxsinx)$
f′′(x)=2(1−sin2x−sin2x)$f^{″}(x)=2(1-si{n}^{2}x-si{n}^{2}x)$
f′′(x)=2(1−sin2x)$f^{″}(x)=2(1-si{n}^{2}x)$

Penggunaan Turunan Kedua
Turunan kedua dapat digunakan untuk menentukan jenis-jenis nilai stasionernya. Sebenarnya dari turunan pertama kita telah dapat mengetahuinya dengan menguji tanda-tandanya. Hal ini kadang terasa aga merepotkan, dengan menggunakan turunan kedua menentukan jenis-jenis nilai stasioner suatu fungsi akan lebih mudah. Dalam menentukan jenis nilai stasioner dengan menggunakan tes turunan kedua berlaku



Misalkan f$f$(x)$(x)$ kontinu pada interval b<x<c$b<x<c$ yang memuat x=a$x=a$. Turunan pertama f′(x)$f^{\prime }(x)$ dan turunan kedua f′′(x)$f^{″}(x)$ terdefinisi dalam interval tersebut dan f′(a)=0$f^{\prime }(a)=0$, maka
Jika f′′(x)<0$f^{″}(x)<0$, maka f(a)$f(a)$ adalah nilai balik naksimum
Jika f′′(x)>0$f^{″}(x)>0$, maka f(a)$f(a)$ adalah nilai balik minimum

Namun, ada hal yang perlu diperhatikan dalam menggunakan uji turunan kedua, jika f′′x=0$f^{″}x=0$ atau tak terhingga, maka jenis-jenis nilai stasionernya tidak dapat ditentukan. Apabila demikian, jenis-jenis nilai stasionernya hanya dapat digunakan dengan menggunakan uji turunan pertama saja.

Selain itu, dalam kehidupan sehari-hari turunan kedua dapat digunakan untuk menentukan nilai percepatan suatu fungsi. Untuk lebih jelasnya, berikut ini akan disajikan contoh soal dan pembahasanya.

Contoh 4
Dengan menggunakan uji turunan kedua, selidiki jenis-jenis nilai stasioner fungsi f(x)=x2+2x+4$f(x)=x^2+2x+4$!
Penyelesaian
f(x)=x2+2x+4$f(x)=x^2+2x+4$f′(x)=2x+2$f^{\prime }(x)=2x+2$
f′′(x)=2$f^{″}(x)=2$
Nilai stasioner diperoleh dengan syarat f′(x)=0$f^{\prime }(x)=0$
f′(x)=0$f^{\prime }(x)=0$
2x+2=0$2x+2=0$
x=−1$x=-1$

f′′(−1)=2>0$f^{″}(-1)=2>0$
Oleh karena f′′(−1)>0$f^{″}(-1)>0$, maka jenis nilai stasionernya adalah nilai balik minimum dengan nilai f(−1)=(−1)2+2(−1)+4=1−2+4=3$f(-1)=(-1{)}^2+2(-1)+4=1-2+4=3$

Contoh 5
Dengan menggunakan uji turunan kedua, selidiki jenis-jenis nilai stasioner fungsi f(x)=2x3−5x2−4x+2$f(x)=2x^3-5x^2-4x+2$!
Penyelesaian
f(x)=2x3−5x2−4x+2$f(x)=2x^3-5x^2-4x+2$
f′(x)=6x2−10x−4$f^{\prime }(x)=6x^2-10x-4$
f′′(x)=12x−10$f^{″}(x)=12x-10$
Nilai satsioner diperoleh dengan syarat f′(x)=0$f^{\prime }(x)=0$
f′(x)=0$f^{\prime }(x)=0$

6x2−10x−4=0$6x^2-10x-4=0$
3x2−5x−2=0$3x^2-5x-2=0$
(3x+1)(x−2)=0$(3x+1)(x-2)=0$
x=−13$x=-\frac{1}{3}$ atau x=2$x=2$

f′′(−13)=12(13)−10=−6<0$f^{″}(-\frac{1}{3})=12(\frac{1}{3})-10=-6<0$, f(−13)$f(-\frac{1}{3})$ adalah nilai balik maksimum dengan nilai f(−13)=2(−13)3−5(−13)2−4(−13)+2$f(-\frac{1}{3})=2(-\frac{1}{3}{)}^3-5(-\frac{1}{3}{)}^2-4(-\frac{1}{3})+2$ =7327=2827$=\frac{73}{27}=2\frac{8}{27}$
f′′(2)=12(2)−10=14>0$f^{″}(2)=12(2)-10=14>0$, f(−13)$f(-\frac{1}{3})$ adalah nilai balik minimum dengan nilai f(2)=2(2)3−5(2)2−4(2)+2$f(2)=2(2{)}^3-5(2{)}^2-4(2)+2$ =−42$=-42$

Contoh 6
Sebuah benda bergerak menurut lintasan sepanjang s meter pada waktu t detik dan dirumuskan dengan dengan fungsi  s=t3–6t$s=t^3–6t$
a. Carilah besarnya kecepatan dan percepatan benda sebagai fungsi t.
b. Hitunglah besarnya kecepatan dan percepatan benda pada saat t = 3 s.
Penyelesaian
s=t3–6t$s=t^3–6t$
a. Kecepatan dan percepatn dalam fungsi t
Kecepatan v=s′$v=s^{\prime }$
s′=3t2–6$s^{\prime }=3t^2–6$
Percepatan a=s′′$a=s^{″}$
s′′=6t$s^{″}=6t$
b. Kecepatan dan percepatan saat t = 3 s.
Kecepatan
v=3(3)2−6=21$v=3(3{)}^2-6=21$ m/s
a=6(3)=16$a=6(3)=16$ m/s2${}^2$
Jadi, kecepatan dan percepatan benda pada saat t = 3 s adalah  21 m/s dan 16 m/s2${}^2$

daftar pustaka

https://www.detik.com/jabar/berita/d-6226197/turunan-fungsi-aljabar-contoh-soal-rumus-dan-aplikasinya

https://www.materimatematika.com/2017/10/persamaan-garis-singgung-kurva.html

https://www.madematika.id/2017/02/turunan-kedua-dan-penggunaannya.html