INDUKSI MATERMATIKA

 

INDUKSI MATEMATIKA

induksi matematika adalah metode pembuktian yang sering digunakan untuk menentukan kebenaran. Prinsip induksi matematika adalah salah satu sifat penting dari bilangan bulat positif. Untuk memahami prinsip induksi matematika, simak pernyataan berikut ini.

Misalkan 𝑃(𝑛) adalah sifat yang didefinisikan untuk suatu bilangan asli 𝑛, dan misalkan pula 𝑎 merupakan suatu bilangan asli tertentu. Dalam prinsip induksi matematika, apabila dua pernyataan berikut bernilai benar, maka:

𝑃(𝑎) bernilai benar.

Untuk sebarang bilangan asli 𝑘 ≥ 𝑎, apabila 𝑃(𝑘) bernilai benar, maka 𝑃(𝑘 + 1) juga bernilai benar.

Oleh karena itu, pernyataan untuk sembarang bilangan asli 𝑛 ≥ 𝑎, 𝑃(𝑛) bernilai benar.

METODE PEMBUKTIAN INDUKSI MATEMATIKA

suatu pernyataan menyatakan “Untuk sembarang bilangan asli 𝑛 ≥ 𝑎, dengan 𝑎 adalah bilangan asli tertentu, sifat 𝑃(𝑛) bernilai benar.”

Agar dapat membuktikan pernyataan tersebut, diperlukan dua langkah tadi, yaitu:

Langkah dasar (basis step) yang bertujuan untuk menunjukkan bahwa 𝑃(𝑎) bernilai benar.

Langkah induktif (inductive step) untuk membuktikan bahwa sebarang bilangan asli 𝑘 ≥ 𝑎, dengan 𝑎 adalah bilangan asli tertentu, jika 𝑃(𝑘) bernilai benar maka 𝑃(𝑘 + 1) juga bernilai benar.

bukti bahwa setiap bilangan bulat positif n (n  2) dapat dinyatakan sebagai perkalian dari (satu atau lebih) bilangan prima.

 

Prinsip-prinsip Induksi Matematika

·        Prinsip Induksi Sederhana.

Misalkan p(n) adalah pernyataan perihal bilangan bulat positif dan kita ingin membuktikan bahwa p(n) benar untuk semua bilangan bulat positif. Untuk membuktikan pernyataan ini, diperlukan langkah-langkah seperti dibawah ini:

 

Basis: tunjukan p(1) benar.

Induksi: Misal p(n) benar untuk semua bilangan positif n 1

Langkah induksi berisi asumsi (andaian) yang menyatakan bahwa p(n) benar. Asumsi tersebut dinamakan hipotesisinduksi.

Kesimpulan: Buktikan bahwa p(n+1) benar.

Bila kita sudah menunjukkan semua langkah tersebut benar maka kita sudah membuktikan bahwa p(n) benar untuk semua bilangan bulat positif n.

Contoh Soal

Gunakan induksi matematik untuk membuktikan bahwa jumlah n buah bilangan ganjil positif pertama adalah n2.

 

Penyelesaian:

Basis induksi: Untuk n= 1, jumlah satu buah bilangan ganjil positif pertama adalah 12 = 1. Ini benar karena jumlah satu buah bilangan ganjil positif pertama adalah 1.

(ii)   Langkah induksi: Andaikan p(n) benar, yaitu pernyataan

                                    1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) = n2

adalah benar (hipotesis induksi) [catatlah bahwa bilangan ganjil positif ke-n adalah (2n – 1)]. Kita harus memperlihatkan bahwa p(n +1) juga benar, yaitu

1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) + (2n + 1) = (n + 1)2

juga benar. Hal ini dapat kita tunjukkan sebagai berikut:

1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) + (2n + 1)

= [1 + 3 + 5 + … + (2n – 1)] + (2n +1)

= n2 + (2n + 1)

= n2 + 2n + 1

= (n + 1)2

 

Karena langkah basis dan langkah induksi keduanya telah diperlihatkan benar, maka jumlah n buah bilangan ganjil positif pertama adalah n2.

 

 

Contoh 2 (Pembuktian rumus jumlah deret persegi)

Buktikan :  12+ 22+ 32+42…+n2 =  n (n+1) (2n+1), n ∈ bilangan asli.

Bukti :

(i)    Basis induksi: Untuk n = 1, maka diperoleh 12 =  .1 (1+1) (2.1+1)

1=1 (terbukti).

 

(ii)  Langkah induksi:n = k,   12+ 22+ 32+42…+k2 =  k (k+1) (2k+1), diasumsikan

benar.

 

 n = k+1,

12 + 22 + 32 + 42 … + k2 + (k + 1)2      =  (k + 1) ((k + 1) + 1) (2(k + 1) + 1).

12 + 22 + 32 + 42 … + k2 + (k + 1)2    =  (k + 1) ((k + 1) + 1) (2(k + 1) + 1)

 

 k (k + 1) (2k + 1) + (k + 1)2             =  (k + 1) ((k + 1) + 1) (2(k + 1) + 1)

 

(k + 1) [  k (2k + 1) + (k + 1) ]      =  (k + 1) ((k + 1) + 1) (2(k + 1) + 1)

(k + 1) [  k (2k + 1) + (k + 1) ]     =  (k + 1) ((k + 1) + 1) (2(k + 1) + 1)

(k + 1) [ k (2k + 1) + 6(k + 1) ]    =  ( k + 1) ((k + 1) + 1) (2( k + 1) + 1)

                            (k + 1) [ 2k2 + 7k + 6]                     =  (k + 1) ((k + 1) + 1) (2(k + 1) + 1)

                         (k + 1) [(k + 2)(2k + 3)]                  = (k + 1) ((k + 1) + 1) (2(k + 1) + 1)

 

    (k + 1) [(k + 1 + 1) (2(k + 1) + 1)] =  (k+1) ((k+1)+1) (2(k+1)+1)

                                                (Terbukti)

Prinsip Induksi yang Dirampatkan

Misalkan p(n) adalah pernyataan perihal bilangan bulat dan kita ingin membuktikan bahwa p(n) benar untuk semua bilangan bulat  n ³ n0. Untuk membuktikan ini, kita hanya perlu menunjukkan bahwa:

 

Basis: p(n0) benar

Induksi: Andaikan p(n) benar untuk n ≥ n0

Kesimpulan: buktikan bahwa P(n + 1) benar.

Jika p(n) benar maka p(n+1) juga benar  untuk semua bilangan bulat n ≥ n0

 

Contoh soal:

Untuk semua bilangan bulat tidak-negatif n, buktikan dengan induksi matematik bahwa 20 + 21 + 22 + … + 2n = 2n+1 – 1

Penyelesaian:

 

Basis induksi. Untuk n= 0 (bilangan bulat tidak negatif pertama),

kita  peroleh:

20 = 20+1 – 1.

Ini jelas benar, sebab 20 = 1

= 20+1 – 1

= 21 – 1

= 2 – 1

= 1

(ii)     Langkah induksi. Andaikan bahwa p(n) benar, yaitu

                                       20 + 21 + 22 + … + 2n = 2n+1 – 1

adalah benar (hipotesis induksi). Kita harus menunjukkan bahwa p(n +1) juga benar, yaitu

                                     20 + 21 + 22 + … + 2n + 2n+1 = 2(n+1) + 1 – 1

juga benar. Ini kita tunjukkan sebagai berikut:

20 + 21 + 22 + … + 2n + 2n+1 = (20 + 21 + 22 + … + 2n) + 2n+1 = (2n+1 – 1) + 2n+1 (hipotesis induksi)

                                                                                               =  (2n+1 + 2n+1) – 1

                                                                                               = (2 . 2n+1) – 1

                                                                                               = 2n+2 – 1

                                                                                               = 2(n+1) + 1 – 1

 

Karena langkah 1 dan 2 keduanya telah diperlihatkan benar, maka untuk semua bilangan bulat tidak-negatif n, terbukti bahwa 20 + 21 + 22 + … + 2n = 2n+1 – 1

 

Prinsip Induksi Kuat

Misalkan p(n) adalah pernyataan perihal bilangan bulat dan kita ingin membuktikan bahwa p(n) benar untuk semua bilangan bulat  n  n0. Untuk membuktikan ini, kita hanya perlu menunjukkan bahwa:

p(n0) benar, dan

Jika p(n0), p(n0+1), …, p(n) benar maka p(n+1) juga benar untuk semua bilangan   bulat  n  n0.

Contoh soal:

Bilangan bulat positif disebut prima jika dan hanya jika bilangan bulat tersebut habis dibagi dengan 1 dan dirinya sendiri. Kita ingin membuktikan bahwa setiap bilangan bulat positif n (n  2) dapat dinyatakan sebagai perkalian dari (satu atau lebih) bilangan prima. Buktikan dengan prinsip induksi kuat.

Penyelesaian:

Basis induksi. Jika n = 2, maka 2 sendiri adalah bilangan prima dan di sini 2 dapat dinyatakan sebagai perkalian dari satu buah bilangan prima, yaitu dirinya sendiri.

 

Langkah induksi. Misalkan pernyataan bahwa bilangan 2, 3, …, n dapat dinyatakan sebagai perkalian (satu atau lebih) bilangan prima adalah benar (hipotesis induksi). Kita perlu menunjukkan bahwa n + 1 juga dapat dinyatakan sebagai perkalian bilangan prima. Ada dua kemungkinan nilai n + 1:

Jika n+ 1 sendiri bilangan prima, maka jelas ia dapat dinyatakan sebagai perkalian satu atau lebih bilangan prima.

Jika n + 1 bukan bilangan prima, maka terdapat bilangan bulat positif a yang membagi habis n + 1 tanpa sisa. Dengan kata lain,

(n + 1)/ a = b   atau (n + 1) = ab

 

yang dalam hal ini, 2  a  b  n. Menurut hipotesis induksi, a dan b dapat dinyatakan sebagai perkalian satu atau lebih bilangan prima. Ini berarti, n + 1 jelas dapat dinyatakan sebagai perkalian bilangan prima, karena  n +1 = ab.

 

Karena langkah (i) dan (ii) sudah ditunjukkan benar, maka terbukti bahwa setiap bilangan bulat positif n (n  2) dapat dinyatakan sebagai perkalian dari (satu atau lebih) bilangan prima.