Bentuk Umum Barisan AritmetikaBentuk Umum Barisan Aritmetika
U1, U2, U3,... dengan bilangan asli
Rumus Suku ke-n
Un = U₁+ (n-1)b
atau
Un = a + (n+1)b
Keterangan:
Un suku ke-n
U₁ = a = suku pertama
n = jumlah atau banyaknya suku b = beda atau selisih
Rumus Beda atau Selisih
b = Un-Un-1
Keterangan:
beda atau selisih
=Un suku ke-n =
Un-1 suku sebelum suku ke-n
Rumus Suku Tengah
Ut = 1/2(a + = (a + Un)
atau
1 ;(n + 1) t =
Rumus Sisipan
atau
Keterangan:
= jumlah atau banyaknya suku barisan aritmetika baru n = jumlah atau banyaknya suku barisan aritmetika lama k = jumlah atau banyaknya bilangan yang disisipkan ke barisan aritmetika lama = beda atau selisih barisan aritmetika baru b = beda atau selisih barisan aritmetika lama
Bentuk Umum Deret Aritmetika
dengan bilangan asli
Rumus Suku ke-n
atau
Keterangan: = suku ke-n = suku ke-n = a = suku pertama n = jumlah atau banyaknya suku b = beda atau selisih
Contoh Soal 1
Terdapat sebuah barisan bilangan seperti berikut 3, 5, 7, 9, …
Berapakah suku ke-30 dari barisan tersebut?
Pembahasan
Diketahui:
a = 3
b = Barisan dan Deret Aritmetika, Rumus Hingga Penerapannya 321
= 5-3
= 2
Ditanyakan: U30?
Jawab:
= 3 + (30-1)2
= 3 + (29)2
= 3 + 58
= 61
Jadi, suku ke-30 dari barisan aritmetika tersebut adalah 61.
B. Barisan dan deret geometri
Perbandingan atau rasio antara nilai suku-suku yang berdekatan selalu sama yaitu r. Nilai suku pertama dilambangkan dengan a. Untuk mengetahui nilai suku ke-n dari suatu barisan geometri dapat dihitung dengan rumus berikut.
Un=ar^a-1
Sedangkan, deret geometri adalah penjumlahan suku-suku dari barisan geometri.
Penjumlahan dari suku-suku pertama sampai suku ke-n barisan geometri dapat dihitung dengan rumus berikut.
dengan syarat r < 1
atau
dengan syarat r > 1
Contoh Soal 1: Soal Khusus
Selembar kertas dipotong menjadi dua bagian. Setiap bagian dipotong menjadi dua dan seterusnya. Jumlah potongan kertas setelah potongan kelima sama dengan…
Pembahasan:
Diketahui: a=1
C. Bunga, penyusutan, pertumbuhan dan peluruhan
Bunga Tunggal
Bunga tunggal yaitu bunga yang dibayar untuk setiap periodenya dengan jumlah yang tetap. Bunga tunggal ini dihitung menurut modal awal.
Rumus bunga tunggal pada akhir periode;
Rumus besarnya modal pada akhir;
Keterangan:
B = bunga
M0= modal awal
Mt= modal pada akhir periode – t
t = periode
r = tingkat suku bunga (persentase)
Contoh soal
Sebuah lembaga koperasi simpan pinjam, memberikan bunga pinjaman untuk anggotanya sebanyak 2% per bulannya. Jika Nia meminjam uang sejumlah Rp. 800.000 dengan jangka waktu 4 bulan, tentukanlah besarnya bunga untuk setiap bulannya yang harus oleh Nia sesuai jangka waktu yang telah disepakati!
Jawab:
M0= Rp. 800.000
r = 2 %
t = 4 bulan
Sehingga, besarnya bunga untuk setiap bulan dihitung dengan:
dan jumlah uang yang harus dikembalikan setelah 4 bulan;
lanjut ke…
Bunga majemuk
Bunga majemuk yaitu, bunga yang dihitung menurut jumlah modal yang dipakai ditambahkan dengan akumulasi bunga yang telah terjadi. bunga majemuk ini sering disebut dengan bunga berbunga, bunga majemuk dapat dihitung dengan menggunakan deret geometri.
Misalkan, Modal Sejumlah M0, akan diberlakukan bunga majemuk,dengan tingkat suku bunga i (dalam persentase) per periode waktu. Besarnya modal saat periode ke-t (Mt) bisa dihitung dengan cara:
Sehingga, rumus untuk besar modal pada periode ke-t dengan bunga majemuk yaitu;
keterangan;
Mt= modal pada akhir periode – t
M0= modal awal
i = tingkat suku bunga
t = periode
Contoh soal
Sebuah bank swasta memberikan pinjaman kepada nasabahnya sebesar Rp. 6.000.000 dengan perhitungan bunga majemuk 3% per tahun. berapakah modal yang harus dikembalikan nasabah tersebut setelah 1 tahun?
Jawab:
M0= Rp. 6.000.000
i = 3% = 0,03
t = 12 bulan
Modal yang harus dikembalikan setelah 1 tahun /12 bulan yaitu:
Pertumbuhan
pertumbuhan yaitu pertambahan atau kenaikan nilai suatu besaran terhadap besaran yang sebelumnya yang umumnya mengikuti pola aritmatika (linier) atau geometri (eksponensial).
Contoh dari pertumbuhan misalnya perkembangbiakan amoeba dan pertumbuhan penduduk.
Rumus pertumbuhan linear;
Sedangkan rumus pertumbuhan eksponensial;
Keterangan;
Pn = nilai besaran setelah n periode
P0 = nilai besaran pada awal periode
b = tingkat pertumbuhan
n = banyaknya periode pertumbuhan
Contoh Soal
Pada telapak tangan yang kotor, bakteri dapat mengalami peningkatan 4% secara eksponensial untuk 2 jam sekali. Saat ini terdapat bakteri sebanyak 200.000 pada telapak tangan tersebut. Hitunglah banyaknya bakteri setelah 2 jam kemudian!
Jawab;
P0 = 200.000
b = 4% = 0,04
n = 2 jam
Banyaknya bakteri setelah 2 jam;
Pn = P0 (1+b)n
P2 = 200.000 (1 + 0,04)2
P2 = 200.000 (1,0816)
P2 = 216.320 bakteri
Peluruhan
Peluruhan yaitu berkurangnya nilai atau penurunan suatu besaran terhadap nilai besaran yang sebelumnya, yang umumnya mengikuti pola aritmatika (linier) atau geometri (eksponensial). Peluruhan misalnya, peluruhan zat radioaktif dan penurunan harga jual mobil.
Rumus peluruhan linear;
Rumus peluruhan eksponensial;
Keterangan;
Pn = nilai besaran setelah n periode
P0 = nilai besaran pada awal periode
b = tingkat peluruhan
n = banyaknya periode pertumbuhan
Contoh Soal
Sebuah bahan radioaktif, mulanya berukuran 150 gram mengalami reaksi kimia sehingga mengalami penyusutan sebanyak 3% dari ukuran sebelumnya setiap 4 jam secara eksponensial. Tentukanlah ukuran bahan radioaktif tersebut setelah 1 hari!
Jawab:
P0 = 100 gram
b = 3% = 0,03
Setelah 1 hari, maka ukuran radioaktif tersebut;
PENYUSUTAN
Penyusutan ada dua kategori : penyusutan nilai beli dan penyusutan nilai buku.
A. Penyusutan Harga Beli
Rumus menghitung penyusutan harga beli hampir sama dengan rumus bunga tunggal.
Mt(n) = harga barang akhir
P = persentase penyusutan
Mo = harga barang awal
B. Penyusutan Harga Buku
Adapun penyusutan harga buku rumusnya hampir sama dengan rumus bunga majemuk.
.png)
Comments
Post a Comment