Integral adalah suatu bentuk pada operasi matematika yang menjadi kebalikan atau biasa juga disebut sebagai invers dari operasi turunan. Serta limit dari jumlah maupun suatu luas daerah tertentu.
Terdapat dua macam hal yang harus dilaksanakan di dalam operasi integral yang mana keduanya telah dikategorikan menjadi 2 jenis integral.Antara lain: integral sebagai invers atau kebalikan dari turunan atau yang biasa juga disebut sebagai Integral Tak Tentu.Serta yang kedua, integral sebagai limit dari jumlah maupun suatu luas daerah tertentu yang disebut sebagai integral tentu.
Integral tak tentu (bahasa Inggris: indefinite integral) atau antiderivatif adalah suatu bentuk operasi pengintegralan suatu fungsi yang menghasilkan suatu fungsi baru. Fungsi ini belum memiliki nilai pasti (berupa variabel) sehingga cara pengintegralan yang menghasilkan fungsi tak tentu ini disebut “integral tak tentu”.
Bila f adalah integral tak tentu dari suatu fungsi F maka F’= f. Proses untuk memecahkan antiderivatif adalah antidiferensiasi Antiderivatif yang terkait dengan pasti integral melalui “Teorema dasar kalkulus”, dan memberikan cara mudah untuk menghitung integral dari berbagai fungsi.
Seperti yang telah disebutkan sebelumya, Integral tak tentu atau yang dalam bahasa Inggris biasa disebut sebagai Indefinite Integral maupun ada juga yang menyebutnya sebagai Antiderivatif merupakan sebuah bentuk operasi pengintegralan pada suatu fungsi yang menghasilkan suatu fungsi baru.
Fungsi ini belum mempunyai nilai pasti sampai cara pengintegralan yang menghasilkan fungsi tidak tentu ini disebut sebagai integral tak tentu.Apabila f berwujud integral tak tentu dari sebuah fungsi F maka F’= f.
Proses memecahkan antiderivatif adalah antidiferensiasi Antiderivatif yang berhubungan dengan integral lewat “Teorema dasar kalkulus”. Serta memberi cara mudah untuk menghitung integral dari berbagai fungsi.
Seperti yang telah dijelaskan sebelumnya, integral tak tentu dalam matematika merupakan invers/kebalikan dari turunan.Turunan dari sebuah fungsi, apabila diintegralkan akan menghasilkan fungsi itu sendiri.
Mari perthatikan baik-baik contoh dari beberapa turunan dalam fungsi aljabar di bawah ini:
Turunan dari fungsi aljabar y = x3 adalah yI = 3x2
Turunan dari fungsi aljabar y = x3 + 8 adalah yI = 3x2
Turunan dari fungsi aljabar y = x3 + 17 adalah yI = 3x2
Turunan dari fungsi aljabar y = x3 – 6 adalah yI = 3x2
Seperti yang telah kita pelajari pada materi turunan, variabel dalam sebuah fungsi akan mengalami penurunan pangkat.
Berdasarkan contoh di atas, maka dapat kita ketahui jika terdapat banyak fungsi yang mempunyai hasil turunan yang sama yakni yI = 3x2.
Fungsi dari variabel x3 maupun fungsi dari variabel x3 yang dikurang atau ditambah pada sebuah bilangan (contohnya: +8, +17, atau -6) mempunyai turunan yang sama.
Apabila turunan itu kita integralkan, maka harusnya akan menjadi fungsi-fungsi awal sebelum diturunkan.
Tetapi, dalam kasus yang tidak diketahui fungsi awal dari sebuah turunan, maka hasil integral dari turunan tersebut bisa kita tulis menjadi:
f(x) = y = x3 + C
Dengan nilai C dapat berapa pun. Notasi C ini juga disebut sebagai konstanta integral. Integral tak tentu dari sebuah fungsi dinotasikan seperti berikut:
Dalam notasi di atas dapat kita baca integral terhadap x”. notasi disebut integran. Secara umum integral dari fungsi f(x) merupakan penjumlahan F(x) dengan C atau:
Sebab integral dan juga turunan saling berkaitan, maka rumus integral bisa didapatkan dari rumusan penurunan. Apabila turunan:
Maka rumus integral aljabar didapatkan:
dengan syarat apabila n ≠ 1
Sebagai contoh perhatikan beberapa integral aljabar fungsi-fungsi berikut ini:
Cara Membaca Integral Tak Tentu
Setelah membaca uraian di atas, taukah kalian cara membaca kalimat integral? Integral di baca seperti ini:
yang di baca Integral Tak Tentu Dari Fungsi f(x) Terhadap Variabel X.
Rumus Umum Integral
Berikut ini adalah rumus umum yang ada pada integral:
Pengembangan Rumus Integral
Mari perthatikan baik-baik contoh dari beberapa turunan dalam fungsi aljabar di bawah ini:
Turunan dari fungsi aljabar y = x3 adalah yI = 3x2
Turunan dari fungsi aljabar y = x3 + 8 adalah yI = 3x2
Turunan dari fungsi aljabar y = x3 + 17 adalah yI = 3x2
Turunan dari fungsi aljabar y = x3 – 6 adalah yI = 3x2
Sifat Integral
Sifat-sifat dari integral antara lain:
∫ k . f(x)dx = k. ∫ f(x)dx (dengan k adalah konstanta)
∫ f(x) + g(x)dx = ∫ (x)dx + ∫ g(x)dx
∫ f(x) – g(x)dx = ∫ f(x)dx – ∫ g(x)dx
Menentukan Persamaan Kurva
Gradien serta persamaan garis singgung kurva pada suatu titik.
Apabila y = f(x), gradien garis singgung kurva pada sembarang titik pada kurva adalah y’ = = f'(x).
Oleh karena itu, apabila gradien garis singgungnya telah diketahui sehingga persamaan kurvanya dapat ditentukan dengan cara seperti berikut ini:
y = ∫ f ‘ (x) dx = f(x) + c
Jika salah satu titik yang melewati kurva telah diketahui, nilai c dapat juga diketahui sehingga persamaan kurvanya dapat ditentukan.
Contoh Soal Integral
Soal 1
Pembahasan
Dalam soal ini, batas atas adalah 1 dan batas bawah -2. Tahap pertama yang perlu kita lakukan adalah melakukan integral fungsi 3x2 + 5x + 2 menjadi seperti di bawah ini.
Setelah kita mendapatkan bentuk integral dari fungsi tersebut, kita dapat memasukkan nilai batas atas dan bawah ke dalam fungsi tersebut lalu mengurangkannya menjadi seperti berikut.
Hasil dari integral tersebut adalah 27,5.
Soal 2.
Diketahui turunan y = f(x) adalah = f ‘(x) = 2x + 3
Jika kurva y = f(x) lewat titik (1, 6), maka tentukan persamaan kurva tersebut.
Jawab:
f ‘(x) = 2x + 3. y = f(x) = ʃ (2x + 3) dx = x2 + 3x + c.
Kurva melalui titik (1, 6), berarti f(1) = 6 hingga dapat di tentukan nilai c, yakni 1 + 3 + c = 6 ↔ c = 2.
Maka, persamaan kurva yang dimaksud yaitu:
y = f(x) = x2 + 3x + 2.
Soal 3.
Carilah hasil dari ʃ21 6x2 dx !
Pembahasan
Jadi, hasil dari ʃ21 6x2 dx adalah 14.
Soal 4
Gradien garis singgung kurva pada titik (x, y) ialah 2x – 7. Apabila kurva itu melewati titik (4, –2), maka tentukanlah persamaan kurvanya.
Jawab:
f ‘(x) = = 2x – 7 y = f(x) = ʃ (2x – 7) dx = x2 – 7x + c.
Sebab kurva melewati titik (4, –2) maka:
f(4) = –2 ↔ 42 – 7(4) + c = –2 –12 + c = –2 c = 10
Maka, persamaan kurva tersebut yakni:
y = x2 – 7x + 10.
Berapakah nilai integral tentu dari ʃ-2-2 3x2 – 2x + 1 dx ?
Pembahasan
Jadi, nilai integral tentu dari ʃ-2-2 3x2 – 2x + 1 dx adalah 20.
Soal 5.
Hitunglah nilai integral tentu dari ʃ94 1/√x dx !
Pembahasan
Jadi, nilai integral tentu dari ʃ94 1/√x dx adalah 2.
B.teknik pengintegralan
EKNIK-TEKNIK PENGINTEGRALAN 1. Teknik Subtitusi a. Subtitusi Dalam Integral Tak Tentu
Teorema : Misal g fungsi yang terdiferensialkan dan F suatu anti turunan dari f, jika u = g(x) maka f(g(x))g’(x) dx = f(u) du = F(u) + c = F(g(x)) + c
Contoh : Hitunglah . Jawab : Misalkan u = = x1/2 sehingga du = dx maka = 2 = 2 = 2cosu + c = 2cos + c
b. Subtitusi Dalam Integral Tentu. Teorema : Misal g mempunyai turunan kontinu pada [a,b] dan f kontinu pada daerah nilai g, maka Contoh : Hitung Jawab : Misal u = x2+2x+6 sehingga du = 2x+2 dx = 2(x+1)dx perhatikan u = 6 jika x = 0 dan u = jika x = 1, jadi = = =
2. Pengintegralan Bentuk-Bentuk Trigonometri a. sin n x dx, cos n x dx Jika n bilangan bulat positif ganjil, maka keluarkan faktor sin x atau cos x dan kemudian gunakan kesamaan sin 2 x + cos 2 x = 1. Jika n bilangan bulat positif genap, maka gunakan rumus setengah sudut sin 2 x = , cos 2 x = Contoh : 1. cos 4 x dx = = (1 + 2 cos 2x + cos 2 2x) dx = dx + cos 2x (2) dx + (1 + cos 4x) dx = x + sin 2x + sin 4x + c b. sin m x cos n x dx Jika m atau n bilangan bulat positif ganjil dan eksponen lain sembarang, maka keluarkan faktor sin x atau cos x yang berpangkat ganjil tersebut kemudian gunakan kesamaan sin 2 x + cos 2 x = 1. Jika m dan n bilangan bulat positif genap, maka gunakan rumus setengah sudut. Contoh : Tentukan : 1. sin 3 x cos –4 x dx 2. sin 2 x cos 4 x dx
c. tg n x dx, cotg n x dx. Keluarkan faktor tg 2 x = sec 2 x – 1 dalam kasus tg atau faktor cotg 2 x = cosec 2 x – 1 dalam kasus cotg.
Contoh : cotg 4 x dx = cotg 2 x (cosec 2 x – 1) dx = cotg 2 x cosec 2 x dx – cotg 2 x dx = - cotg 2 x d(cotg x) - (cosec 2 x – 1) dx = - cotg 3x + cotg x + x + c
d. tg m x sec n x dx, cotg m x cosec n x dx Jika n genap dan m sembarang, maka keluarkan faktor sec 2 x atau cosec 2 x. Jika m ganjil dan n sembarang, keluarkan faktor tg x.sec x.
Contoh : Tentukan : 1. tg –3/2 x sec 4 x dx 2. tg 3 x sec –1/2 x dx
e. sin mx cos nx dx, sin mx sin nx dx, cos mx cos nx dx. Gunakan kesamaan : sin mx cos nx = ½[sin (m+n)x + sin (m – n)x] sin mx sin nx = -½[cos (m+n)x - cos (m – n)x] cos mx cos nx = ½[cos (m+n)x + cos (m – n)x]
Contoh : sin 2x cos 3x dx = 1/2 sin 5x + sin (-x) dx = 1/10 sin 5x d(5x) – ½ sin x dx = - 1/10 cos 5x + ½ cos x + c.
3. Pengintegralan Parsial Pengintegralan parsial (sebagian) dapat dilakukan jika pengintegralan dengan teknik subtitusi tidak memberikan hasil, dan dengan catatan bagian sisa pengintegralan lebih sederhana dari integral mula-mula.
Contoh : 1.Misalkan u = x, dv = ex dx maka du = dx , v = ex = = xex –ex + c
4. Integral Fungsi Akar (Subtitusi yang Merasionalkan). a. Fungsi Integran yang memuat bentuk Penyelesaian dengan menggunakan subtitusi : u =
Contoh : Hitung Jawab : Misalkan u = maka = x – 4 dan 3 du = dx Shg = b. Integran yang memuat bentuk Gunakan berturut-turut subtitusi : x = a sin t, x = a tg t dan x = a sec t. Contoh : 1. Tentukan Jawab : Jawab : Misalkan x = 2 sin t maka dx = 2 cos t dt dan = 2 cos t , shg = = - ctg t – t + c = 5. Integral Fungsi Rasional Fungsi Rasional merupakan fungsi hasil bagi dua fungsi Polinom yang ditulis : , P(x) dan Q(x) fungsi –fungsi Polinom dengan Q(x) ≠ 0
Fungsi Rasional dibedakan atas : a. Fungsi Rasional Sejati yaitu fungsi rasional dimana derajat fungsi polinom pada pembilang lebih kecil dari pada derajat fungsi polinom pada penyebut. b. Fungsi Rasional Tak Sejati yaitu fungsi rasional dimana derajat fungsi polinom pada pembilang lebih besar dari atau sama dengan derajat fungsi polinom pada penyebut.
Fungsi Rasional Tak Sejati dapat ditulis sebagai penjumlahan fungsi polinom dengan Fungsi Rasional Sejati dengan jalan membagi fungsi pembilang dengan fungsi penyebut.
Permasalahan mengintegralkan fungsi rasional terletak pada bagaimana mengintegralkan fungsi rasional sejati. Suatu fakta, bahwa fungsi rasional sejati dapat ditulis sebagai jumlah dari fungsi rasional sejati yang lebih sederhana Contoh :
a. Penjabaran Fungsi Rasional atas Faktor Linear yang Berbeda Contoh : Tentukan Jawab : maka 5x + 3 = A(x+1)(x-3) + Bx(x-3) + Cx(x+1) dengan menyamakan koefisien pada kedua polinom diruas kiri dan ruas kanan maka diperoleh : A = -1 , B = , dan C = sehingga = = - ln
b. Penjabaran Fungsi Rasional atas Faktor Linear yang Berulang Contoh : Tentukan Jawab : maka x = A(x-3) + B dengan menyamakan koefisien pada kedua polinom diruas kiri dan ruas kanan diperoleh : A = 1 dan B = 3 sehingga
Yang perlu diperhatikan untuk tiap faktor dalam penyebut, maka ada sebanyak k suku penjabarannya, yaitu :
c. Penjabaran Fungsi Rasional atas Faktor Kuadrat yang Berbeda Contoh : Tentukan Jawab : Selanjutnya tentukan A, B dan C seperti cara diatas dan kemudian hitung integral setiap sukunya.
C.soal yang berhubungan dengan integral
1] Hitunglah integral dari 4x3 – 3x2 + 2x – 1 !
Pembahasan
Jadi, integral dari 4x3 – 3x2 + 2x – 1 adalah x4 – x3 + x2 – x + c
2) Tentukan integral dari (x – 2)(2x + 1) !
Pembahasan
Jadi, integral dari (x – 2)(2x + 1) adalah 2/3 x3 – 3/2 x2 – 2x + c.
3) Diketahui fungsi y = f(x) memiliki f ‘(x) = 4x + 6. Misal kurva y = f(x) melalui titik (2, 8). Tentukan persamaan kurva tersebut.
Pembahasan
f(x) = ʃ f ‘(x), dan f ‘(x) = 4x + 6, maka
f(x) = ʃ (4x + 6) dx
f(x) = 2x2 + 6x + c
Karena kurva melalui titik (2, 8), maka f(2) = 8. Dengan mensubstitusikan ke f(x), diperoleh
f(x) = 2x2 + 6x + c
f(2) = 2(2)2 + 6(2) + c
8 = 8 + 12 + c
c = -12
Jadi, persamaan kurva tersebut adalah y = f(x) = 2x2 + 6x – 12
4) Diketahui gradien garis singgung kurva di titik (x, y) adalah 6x + 5. Misalkan kurva tersebut melewati titik (1, 5), carilah persamaan kurvanya.
Pembahasan
f ‘(x) = 6x + 5
f(x) = ʃ (6x +5) dx
f(x) = 3x2 + 5x + c
Karena kurva melalui titik (1, 5), maka f(1) = 5. Dengan mensubstitusikan ke f(x), diperoleh
f(x) = 3x2 + 5x + c
f(1) = 3(1)2 + 5(1) + c
5 = 3 + 5 + c
c = -3
Jadi, persamaan kurva tersebut adalah y = f(x) = 3x2 + 5x – 3.
5) Tentukan integral dari sin4 x cos x !
Pembahasan
Misal:
u = sin x
du = cos x dx
dx = du/(cos x)
Maka:
Jadi, integral dari sin4 x cos x adalah 1/5 sin5 x + c.
yang di baca Integral Tak Tentu Dari Fungsi f(x) Terhadap Variabel X.
Comments
Post a Comment